2029. 试想凸面镜中的世界影像……一个制作精良、孔径适中的凸面镜，会把镜前的物体呈现为看似立体且固定在镜面后方的影像。但远处地平线和天空中太阳的影像，位于镜面后方有限距离处，这个距离等于镜面的焦距。在这些影像与镜面之间，是镜前所有其他物体的影像，只是这些影像会随着物体离镜面距离的增加而成比例地缩小、变扁……不过，外部世界中的每一条直线或每一个平面，在影像中都会由一条直线[？]或一个平面来呈现。一个人拿着尺子从镜面开始测量一条直线，他在影像中的样子会随着离镜面越来越远而缩得越来越厉害，但影像中拿着缩短了的尺子的人，数出的厘米数会和真实的人完全一样。而且，总的来说，用真实工具按规律变化的影像来进行所有的线和角的几何测量，得到的结果会和在外部世界中得到的完全一样，镜中所有的视线方向都会由镜中的直线来表示。简言之，我看不出镜中的人如何能发现他们的身体不是刚性固体，也看不出他们的经验为何不能成为欧几里得公理正确性的绝佳例证。但如果他们能像我们观察他们的世界那样观察我们的世界，且不越过边界，他们一定会宣称我们的世界是球面镜中的一幅图像，并且谈论我们的方式会和我们谈论他们的方式一样；而且在我看来，如果两个不同世界的居民能够相互交流，谁也无法说服对方自己所处的是真实的世界，而对方的是扭曲的。事实上，我觉得只要不掺杂力学方面的考虑，这样的问题根本就没有任何意义。
——亥姆霍兹，h.
《论几何公理的起源与意义》；《通俗科学讲演集》第二辑（纽约，1881年），第57-59页。
试思凸镜中之世象……良制凸镜，孔径适中，镜前诸物，其象若实，位定于镜面之后。然远天之际、空中日影，其象在镜后，距有限，恰合焦距。此象与镜面之间，镜前他物之象悉在焉，唯其象随物距镜之远，渐缩渐扁……然外界之直线平面，其象皆以直线[？]平面呈之。有人持尺自镜测直线，行愈远，其象愈缩，然象中人持缩尺，所计厘米之数，与真人不爽。大抵而言，以真器之象按律变易，量线测角，所得几何之果，与外界无别；镜中视线，皆以直线呈之。简言之，吾未见镜中人何以知其身非刚体，其验不足证欧氏公理之确。若彼能如吾观其世般观吾世，不越疆界，则必谓吾世为球面镜中画，论吾亦如吾论彼；若两界之人得以相通，依吾之见，皆不能使对方信己为真、彼为妄。实则，若不杂力学之思，此问本无意义。
——亥姆霍兹，h.
《论几何公理之起源与意义》；《通俗科学讲演集》二编（纽约，1881），页五十七至五十九。
2030. 从数学角度来看，把空间设想为点的轨迹且只有三个维度，这无需论证；但同样，从数学角度，我们也无法阻止有人断言空间实际上有四个或无限多个维度，只是我们只能感知到三个。越来越多地处于数学研究前沿的多重扩展流形理论，就其本质而言，完全独立于这样的断言。但该理论所采用的表达方式，确实是从这一概念发展而来的。我们不说流形中的个体，而是说更高维空间中的点，等等。这种表达方式本身有很多优点，它能唤起几何直觉，从而便于理解。但它也有一个缺点，即在更广泛的范围内，对任意维数流形的研究，会被认为与上述空间概念并列且显得奇特。这种观点是毫无根据的。如果上述空间概念成立，这些研究确实能立即找到几何应用，但这些研究的价值和目的并不依赖于这一概念，而是基于其本质的数学内容。
——克莱因，F.
《数学年刊》第43卷（1893年），第95页。
视空间为点之轨迹，唯三维，从数学观之，无待辩也；然从数学观，亦不能禁人言空间实有四维乃至无穷维，唯吾辈仅能感知三维。多重扩展流形之学，日益居数学研究之要，其本然与斯言无涉。然其所用表述之式，实由此念而生。不言流形之个体，而言高维空间之点，诸如此类。此式多益，能启几何直觉，便人领悟。然其弊在，广而言之，研任意维流形者，常被视为与上述空间之念并列而显奇特。此见毫无根据。若空间之念可立，斯学立得几何之用；然其价值与宗旨，不系于此念，而在其本有之数学内涵。
——克莱因，F.
《数学年刊》四十三卷（1893），页九十五。
2031. 我们很自然地会把几何语言扩展到任意变量的情形，仍然用“点”来表示n个变量的任意一组值（该点的坐标），用“空间”（n维空间）来表示所有这些点或所有这些值的集合，用“曲线”或“曲面”来表示由这样的点构成的延展，这些点的坐标是一个或两个参数的已知函数（在适当限制条件下）（当这些函数是具有相同分母的线性分式函数时，就是“直线”或“平面”），等等。这种扩展在大量研究中已经成为必要，既要赋予这些研究最大的普遍性，又要在其中保留几何的直观特性。但人们已经注意到，在这样使用几何语言时，我们并非真的在构建几何学，因为我们所考虑的形式本质上是解析的，例如，以这种方式构建的一般射影几何，实质上只不过是线性变换的代数学。
——塞格雷，科拉迪
《数学评论》第1卷（1891年），第59页。[J. w. 扬]
吾辈自然欲扩几何之语于任意变量，仍以“点”指n变量之值组（点之坐标），以“空间”（n维）指诸点诸值之全体，以“曲线”“曲面”指点所成之展布，其坐标乃一或二参数之已知函数（循适当之限，若为同分母线性分式函数，则为“直线”“平面”），云云。此扩在诸多研究中已成必需，既求其至广之通性，亦存几何之直观。然人已察，如此用几何之语，非真构几何也，盖所论之形，本为解析之属，譬如由此构之一般射影几何，实则不过线性变换之代数耳。
——塞格雷，科拉迪
《数学评论》一卷（1891），页五十九。[J. w. 扬]
2032. 那些能在普通代数中找到-1的平方根的人，在空间中找到第四维（使Abc能变成Abcd）不会有任何困难；或者，如果他们找不到，只需想象它的存在，并称它为一个“不可能的”维度，且遵循我们所发现的三个可能维度的所有规律。就像普通代数中√?1的所有“有意义的”组合都是“正确的”一样，思辨者可能会凭空想出的任意多个空间维度（即便称之为“不可能的”存在）也是如此。
——德·摩根，A.《三角学与双代数》（伦敦，1849年），第二部分，第3章。
能于常代数中求-1之平方根者，于空间求第四维（使Abc成Abcd），必无滞碍；若不能得，唯想象之，名之曰“不可能”之维，而循吾辈所知三维之律。犹常代数中√?1之“有义”组合皆“真”，思辨者所臆之任意空间维度（虽名之“不可能”），亦复如是。
——德·摩根，A.
《三角学与双代数》（伦敦，1849），卷二，第三章。
2033. 非欧几里得空间以及一般的高维空间理论，具有极高的智力趣味，需要有远见的人才能预言它永远不会有任何实际重要性。
——史密斯，w. b.
《近代几何导论》（纽约，1893年），第274页。
非欧空间及一般高维空间之论，极具智趣，需有远识者方能预言其永无实用之要。
——史密斯，w. b.
《近代几何导论》（纽约，1893），页二百七十四。
2034. 根据高斯经常表达的观点，他认为空间的三个维度是人类灵魂的特定特质；那些无法理解这一点的人，他会带着幽默的心情称之为“波奥提亚人”。他说，我们可以想象自己是只意识到两个维度的生物；更高等的生物看待我们，可能也和我们看待这种生物一样。他还开玩笑地说，他已经搁置了某些问题，希望在处于更高等的存在状态时，能从几何角度去研究它们。
——萨托里乌斯，w. V. 瓦尔特豪森
《高斯纪念》（莱比锡，1856年），第81页。
按高斯常言之见，彼谓空间三维，乃人类灵魂之特质；不能解此者，彼戏称之为“波奥提亚人”。彼曰：吾辈可自视为仅识二维之造物，高等之灵观吾辈，或亦如是。又戏言：己有若干问题，暂置不论，冀处更高之境时，以几何究之。
——萨托里乌斯，w. V. 瓦尔特豪森
《高斯纪念》（莱比锡，1856），页八十一。
2035. 存在着诸多理性的逻各斯，而数学家在沉思那些“不一致的”“一致关系系统”时，会获得极大的愉悦。例如，有欧几里得几何，还有不止一种非欧几里得几何。作为对特定空间的理论阐释，这些几何体系并不兼容。要是我们的宇宙如柏拉图所认为的，也是自然科学所假定的那样，是一个受空间制约、具有几何特性的存在，那么这些几何体系中或许有一种是有效的，或许一种都没有，但绝不可能全部有效。然而，在更为广阔的思想世界里，它们全都是有效的，在那里它们共存着，彼此交织，还与其他体系相互交融，就如同更高层次的、绝对超自然的、超宇宙的和谐中不同的构成部分。——凯泽，c.J.
出自《宇宙及之外》；《希伯特杂志》，第3卷（1904-1905），第313页。
理性之理，多不胜数。数学家静观“矛盾之统系”，其乐融融。譬如欧氏几何，及数种非欧几何，皆此类也。若以之释特定空间，则互不相容。设宇宙如柏拉图所言，亦如自然科学所假定，为囿于空间、具几何性之存在，则此诸几何或有一种可用，或皆不可用，然绝无全可用之理。然于广袤思想之域，则皆为有效，共存其间，与他理交织，如更高超、绝自然、超宇宙之和谐中，各成一脉。——凯泽·c.J.
《宇宙及外篇》；《希伯特杂志》第三卷（1904-1905），三百一十三页。
2036. 在几何研究中引入诸如无穷、虚数以及超空间关系等概念，这些概念都无法被直接想象，这一做法具有值得深入探究的心理学意义。它让我们得以深刻洞察人类思维的潜能与运作方式。我们就此踏入了数学与心理学的交界地带。——默茨，J.t.
出自《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903），第716页。
几何之学，引入无穷、虚数、超空间关系等念，皆非可直感者，其心理学义蕴，颇值得探究。由此可深窥人心之潜能与运作。此乃数学与心理学交界之域也。——默茨·J.t.《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡、伦敦，1903），七百一十六页。
2037. 在现代数学所达成的卓越概括中，有一种概括尤为璀璨、振奋人心且成果丰硕，它与存在本身那无限的广袤相契合，这便是产生了被称为……超空间或多维空间这一伟大概念的概括。——凯泽，c.J.出自《数学的解放》；《一元论者》，第16卷（1906），第65页。
近代数学所成之卓越概括，其璀璨、鼓舞、丰硕，及与存在本身之无垠相称者，莫过于创“超空间”或“多维空间”之伟念。——凯泽·c.J.《数学解放论》；《一元论者》第十六卷（1906），六十五页。