一篇关于概率的论述
大约在1830年，《实用知识文库》中出版了一本关于《概率》的小册子，这是已故的约翰·卢伯克爵士{611}和德林克沃特（贝休恩）先生{612}的共同作品。这是该主题最好的入门导论之一。一位装订工把我的名字印在了封面上（该作品是匿名的），结果无论如何都无法让人们摆脱这本书是我写的想法。我不知道我否认了多少次，从我自己作品中的一段话到写给《泰晤士报》的一封信：而且我甚至不确定我现在是否成功地澄清了事实。因此，我再次记录这一事实。但既然一本书除非包含悖论——或与普遍观点或做法相悖的内容——否则无权出现在这里，我将提出两个小悖论。负责具体安排的约翰·卢伯克爵士强烈反对theory of probabilities中的最后一个词，他主张应使用单数形式的probability；我认为他非常正确。
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第二个情况是：我的朋友 J. L. 爵士，拥有众多才智品质和社交品质，但有一点性格特征我既不愿称之为坏，也无法称之为好；他从不使用俚语表达。他将这种厌恶推至极致，以至于即使在关于机会博弈的着作中，也无法忍受使用headtail（硬币的正反面）：所以他用了obversereverse。我第一次看到这个时很惊讶：但令我高兴的是，我发现环境的力量最终击败了他。他不得不从赛马场中选取一个例子，而其中一匹马的名字叫bessy bedlam（贝西·贝德拉姆，意为疯人院贝西）！而他并没有把她写成Elizabeth bethlehem（伊丽莎白·伯利恒），而是强迫自己遵循骑师们的叫法。
· [《法国皇家彩票罗马历书，或上述彩票股东与收款人必备之新年礼物》。m. 梅努·德·圣梅斯曼着。巴黎，1830年。12开本。]
这本书包含了从1758年到1830年法国彩票的所有开奖结果（每月两到三次）。它面向那些认为可以根据过去预测未来开奖结果的人：书中提供了各种关联数字组来帮助他们。其原理是，任何长时间未发生的事情必定很快会发生。例如，在轮盘赌的红与黑中，当红色连续赢了五次之后，精明的赌徒会押注黑色，因为他们认为最终必定会到来的转变比之前更近了。确实如此：但观察会表明，如果记录下大量出现红色连续五次的情况，接下来的那一局将同样频繁地使连续次数变成六次，就像转而有利于黑色一样频繁。但赌博者的推理是不可救药的：如果他们转而研究化圆为方，将能避免多少痛苦啊。一位1823年的作家，似乎对巴黎和伦敦的赌博情况了如指掌，他说职业赌徒{281}被一种对未来毁灭的隐秘预感所困扰，他们仿佛在赌桌上对庄家说着角斗士对皇帝说过的话：将死之人向你致敬{613}。
在法国彩票中，一次从90个号码中抽取5个。全国任何地方的任何人都可以就任何他喜欢的事件下注任何金额，例如27号会被抽中；42号和81号会被抽中；42号和81号会被抽中，且42号在先；依此类推，如果他愿意，甚至可以押注确定顺序的五连号，即押注五个给定号码按给定顺序出现。例如，在1821年7月，其中一次开奖结果是
8 46 16 64 13。
一个赌徒实际上预测中了这五个号码（但未预测顺序），并以微小的赌注赢得了131,350法郎。梅努先生似乎暗示，选择哪些号码的提示是在他自己的办事处给出的。另一个人在这次开奖中押中了四连号8, 16, 46, 64，赢得了20,852法郎。这些赢利，当然被广泛宣传：而对于输钱的众多人则只字不提。那些研究过算术概率的人可以从赢得简单四连号的数量推断出参与下注的人数之巨：1822年，14次；1823年，6次；1824年，16次；1825年，9次，等等。
所谓的机遇或偶然性中的悖论，本身就可以编成一本小册子。世人都明白存在一个长期趋势，一个总体平均值；但世界上很大一部分人惊讶于这个总体平均值竟然可以被计算和预测。有许多显着的验证案例；其中一个与化圆为方有关。我在此介绍这个案例和另一个案例。一次又一次地抛掷一枚便士，直到正面出现，这不会太久：让我们称这为一个组。因此，h 是最小的组，th 是次小的组，接着是 tth，等等。为简略起见，让我们将在正面出现之前出现七次反面{282}的组记为 t^{7}h。在大量的组试验中，大约一半将是 h；大约四分之一是 th；大约八分之一是 t^{2}h。布丰{614}尝试了 2,048 组；后来也有几个人效仿他。如果我给出所有结果，将有助于阐明这个原理；即，多次试验将以道德上的确定性显示出接近——而且试验次数越多，接近程度越高——清醒推理所预测的那个平均值。第一列是理论上的最可能数字：下一列是布丰的结果；后面三列是我的通讯员通过试验获得的结果。每种情况下的试验次数都是 2,048。
（此处应有一个表格，但作为AI，我无法直接渲染表格。表格内容如下：）
组合 理论值 布丰结果 通讯员1 通讯员2 通讯员3
h 1,024 1,061 1,048 1,017 1,039
th 512 494 507 547 480
t^{2}h 256 232 248 235 267
t^{3}h 128 137 99 118 126
t^{4}h 64 56 71 72 67
t^{5}h 32 29 38 32 33
t^{6}h 16 25 17 10 19
t^{7}h 8 8 9 9 10
t^{8}h 4 6 5 3 3
t^{9}h 2 3 2 4
t^{10}h 1 1 1
t^{11}h 0 1
t^{12}h 0 0
t^{13}h 1 1 0
t^{14}h 0 0
t^{15}h 1 1
&c. 0 0
总计 2,048 2,048 2,048 2,048 2,048
{283}
因此，在非常多次的试验中，我们可以指望出现接近预测平均值的结果。反过来，从多次试验中我们可以猜测平均值会是多少。例如，在布丰的实验中，各组的前 2,048 次抛掷中有 1,061 次出现了正面：我们有权推断，从长远来看，在 2,048 次中出现大约 1,061 次是正面的比例，甚至在我们知道机会均等的理由（这告诉我们 2,048 次中出现 1,024 次才是真实情况）之前就可以这样推断。现在我来谈谈这些考虑如何引致一种方法，仅凭抛掷游戏就比我的一些悖论者更精确地接近了化圆为方。我在第14期的那位朋友{615}对此会作何感想？方法如下：假设有一个常见类型的铺板地板，板之间有细密的可见接缝。有一根细直杆或金属丝，其长度不超过地板的板宽。将此杆随意向上抛掷，它要么完全落在接缝之外，要么会横跨一条接缝。现在，布丰以及后来的拉普拉斯证明了以下结论：从长远来看，所有试验中横跨接缝的试验所占的比例，将是杆长的两倍与以板宽为直径的圆的周长之比。1855年，阿伯丁的安布罗斯·史密斯先生用一根长度是板间距离五分之三的杆进行了 3,204 次试验：有 1,213 次明显横跨接缝，还有 11 次接触难以判定。将这些接触平均分配，我们得到 1,218.5 比 3,204 作为 6 比 5π 的比值，假定大量的试验次数给出了接近最终平均值或长期结果的值：由此得出 π = 3.1553。如果所有 11 次接触都被视为横跨，结果将是 {284} π = 3.1412，非常接近。我的一个学生用长度等于接缝间距的杆进行了 600 次试验，得到 π = 3.137。
这种方法在被重复足够多次以至于对此从未有过任何怀疑之前，恐怕很难让人相信。
第一个实验有力地证明了理论中的一个真理，并已得到实践充分证实：只要试验次数足够多，任何可能发生的事情都会发生。谁会愿意连续抛掷出八次反面呢？然而，在 8,192 组中，连续 8 次反面出现了 17 次；连续 9 次，出现了 9 次；连续 10 次，出现了 2 次；连续 11 次和 13 次，各出现 1 次；连续 15 次出现了 2 次。]
关于 π 的奇特性
1830年。这个着名的无穷小数 3....，数学家称之为 π，是圆周长与直径的比值。但它还是成千上万别的东西。它在数学中不断出现：如果算术和代数是在没有几何学的情况下发展起来的，π 也必定会以某种方式出现，尽管出现在哪个阶段或以什么名称出现，必然取决于代数发明的偶然性。当我们说明 π 无非是级数
1 - 1\/3 + 1\/5 - 1\/7 + 1\/9 - 1\/11 + ...
的四倍{285} 直至无穷{616}时，这一点就很容易理解了。如果如此简单的一个级数{285}只出现在一种情况下，那才奇怪呢。事实上，我们的三角学是建立在圆的基础上的，π 首先是作为上述比值出现的。例如，如果对偏离平均值的概率波动进行深入研究先行展开，π 可能会作为一个在处理诸如以下问题时完全不可或缺的数字出现：当用骰子掷六百万次时，掷得一点（Ace）的次数介于一百万加 x 与一百万减 x 之间的概率是多少？我还没有详细探讨所有那些情况，即悖论者凭借其自身的敏锐发现数学研究的结果不可能成立：事实上，这个发现只是他对必然成立之事所做的悖论性陈述的一个伴随物，尽管是必要的伴随物。逻辑学家开始认识到，的概念与的概念是不可分割地联系在一起的：没有后者，前者根本不成其为一个概念。而且很明显，对与数学证明相矛盾的事物的肯定性断言，必然伴随着（大多是公开做出的）证明为假的声明。如果数学家有意惩罚这种轻率行为，他可以编造一些声称的结果，让否认者完全上当，从而使其显得荒谬。
三十多年前，我有一位朋友（早已故去），他是一位数学家，但并非从事高等分支的研究：他，除此之外，精通所有与死亡率、人寿保险等相关的知识。一天，我向他解释如何确定一大群目前存活的人在一段时间后幸存者人数落在给定范围内的概率时，当然引入了 π，我只能将其描述为圆的周长与直径之比。哦，我亲爱的朋友！那一定是错觉；圆与给定时间结束时的存活人数有什么关系呢？我无法向你证明；但它已经被证明了。哦！胡说！我觉得用你的微积分什么都能证明：肯定是虚构的，{286} 毫无疑问。我没再说什么；但几天后，我去找他，非常严肃地告诉他，我在卡莱尔生命表中发现了人类死亡率的规律，他对这个表评价很高。我告诉他，这个规律蕴含在以下情况中。取预期寿命表，选择任何年龄，取其预期寿命并将最接近的整数作为一个新年龄，对该新年龄做同样处理，如此继续；从任何年龄开始，你最终肯定会到达这样一个点，即已过去的年龄等于（或最接近等于）尚存的预期寿命。你的意思是这总是发生？试试看。他试了，一次又一次；发现正如我所说。这确实是一件奇怪的事；这确实是一个发现。我本可以让他四处宣扬这个生命规律：但我满足于告诉他，同样的事情会发生在任何第一列递增、第二列递减的表中；并且，如果一个高等数学的专家想用虚构的东西骗他，他完全可以不用圆：法国谚语说，对付海盗，要用更厉害的海盗{617}。有人评论说，我明白了，这是米尔恩！{618} 那不是米尔恩：我清楚地记得后来某个时候把这个公式给他看了。他对 π 没有提出任何疑问；他知道拉普拉斯结果的形式，而且他很感兴趣。此外，米尔恩从不会说胡说！虚构！。而且他也不会被骗：他会悄悄地用北安普顿表和其他所有表来验证，从而发现真相。